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凸多面体的边数及体积与整点个数
中文名称: 凸多面体的边数及体积与整点个数
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论文编号: 2878352收藏本论文】【我的收藏】【我要投稿
英文名称: Volume, Integer Points and the Number of Faces of the Convex Polytopes
学位类型: 博士毕业论文
作者: 涉及隐私,隐去***  作者本人请参看权力声明>>
导师: 涉及隐私,隐去***
毕业学校: 涉及隐私,隐去***
专业: 基础数学
毕业年份: 涉及隐私,隐去***
关键字: 多胞形 体积 整坐标点 凸多面体 向量空间 凸集
简介目录: 点击此处 免费索取本论文简介和目录>>
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论文简介:该文由具有共同主题但又彼此相对独立的两大部分组成.第一部分的主题是凸集间的代数运算以及全序体上向量空间中凸体全体组成的代数结构.第二部分是该文的主要部分,它的主题是凸体中最重要的一类--多胞形.这部分又分为两个专题,分别是多胞形的边数和多胞形的体积与整点个数.在第一章引言之后,作者在第二章中引进了全序体上的向量空间中的凸性概念(由于对这样的凸集的研究并不总能归结为对实空间中凸集的研究(例如,实数体R看作其自身上的向量空间时与看作有理数体Q上的向量空间时,其中的凸集有着很不同的形状),所以这种提法是有意义的,而不是简单的形式推广.),并得出了凸不等式的一般形式,由该一般形式可得到各种(离散形式和积分形式的)凸不等式,它包含了(刻划各种平均数之间关系的)Minkowski不等式和Hoelder不等式[6]作为特例;并为此引进了积分的(代数形式的)一个定义,它包括了各种经典的积分(如Riemann积分,Lesbegue积分)作为特例.第三章以全体凸体集合的代数结构为对象.一个向量空间的全体凸子集的集合中,可定义(Minkowski)加法,但该加法的逆运算,凸集之间的减法,在该集合中不封闭.为此,我们将该集扩张为两凸集之差的集合,方法与由自然数半群N做整数群Z以及由整环做分式体的方法一样.即在凸集对之间定义一个等价关系,两凸集之差定义为凸集序对所在的等价类,从而得到了差集.原集合可嵌入到其差集中.之后,Minkowski标量乘法可自然地延拓到差集上,从而使该差集具有一个很接近向量空间的代数结构.第五章讨论多胞形各维边数的上界.该问题已用组合的方法得到解决[41][45][46].作者的工作是,为了将多胞形和单纯复形问题转化成代数问题(由于代数对象比拓扑对象容易架驭得多,所以这种想法很自然,而不是故弄玄虚),引进了边代数函子,将每个单纯复形对应一个环,通过对这个环的研究回过头来刻化单纯复形的性质,并将这些结果用于多胞形,得到了多胞形各维边数的一个上界并给出了证明Euler公式的一个拓扑方法.作者在第六章引进了一类特殊的多胞形,它是由一个r×n矩阵φ和r维向量a得到的n维空间中的一个多胞形,并运用计算多胞形体积和整点个数的一般公式(Baldoni-Vergne公式)[5][7][33][53][54]于当中=A<'+><,r>时的特殊情况,得到了该公式关于这类多胞形的一个迭代形式.
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