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关于相对论与其解的时空分析
作者:周炬
一。狭义相对论的时空解及比较
在狭义相对论中,两惯性系相对速度与和平行
(1)
()为坐标系的坐标,()为坐标系的坐标,令,,所以变换矩阵为
(2)
如果;,相对速度不变,那么


(3)
比较与
(4)
(5)
比较后知道(4)式=(5)式
(6)
二。时空观测的定义
为了较方便地说清楚不同的观测结果与不同坐标中长度与时间的相互比较
的关系,在字母顶部加3个指标,
如:
定义为:左边指标为观察目标所在的坐标系,中间指标为观察者选择的单
位长度与时间所在的坐标系,右边指标为观察者观察时所在的坐标系。这样有:


其中,和是固有时,与是固有长度。
三。的推导
在狭义相对论中有
(6.1)
那么,在什么条件下上式会是普适的呢?
先来考察欧几里德几何。对观察者而言,在欧几里德几何中的二维空间的坐
标中,观察到的单位长度,与在欧几里德几何中的二维空间坐标中,
观察到的单位长度。观察者是无法在长度方面区别和的,即
(7)
这是欧几里德几何的观察者假设,也是符合经验的假设,以前从未被指出过。
根据相对论,在四维时空坐标中,时空量表示为:
(8)
广义相对论中的不变量原理确定了,任意四维时空坐标都有(8)式。
现在,在非欧几里德的四维时空坐标中,推广欧几里德几何的观察者假设。
先定义一种四维时空坐标,在观察者观察的时间内,这个坐标内的时空度规
时间平移不变性和空间平移不变性,令ξ为坐标内时空场ξ=
ξ,(i=1,2,3,4),表示为李(Lie)微商有
?ξgμυ=0(9)

(10)
如果所取的时空体积足够小,即,那么总可以成为这种坐标。这种坐
标具有普适性。
在四维时空中,随意取两个这种坐标和,观察者在坐标内所观察到的单
位时空量和,如果观察者不与坐标外其他坐标比较的话,他是无法在
时空量方面区分他在和坐标内观察到的单位时空量和(观察者在坐标内观察时,也不能与坐标内的比较。他只能分别观察和后,再比较和)。这是四维弯曲时空的观察者假设。即观察
者无法区分不同的这种坐标系的固有时间和固有长度。
这样观察者可以得到
(11)
令,,得:
(12)
(12.1)
由(9)式和(10)式的定义,观察者总能认为他所在的坐标系内满足
(13)
(14)
那么有

(6)

所以有相同的量纲。
所以可以,令
(15)
(16)
那么有
(15.1)
(16.1)
所以
(17)
而在上述定义的坐标系中,总有
(18)
所以(19)
这样就有在上述定义的坐标系中,时间量平方的变化量与空间量平方的变化
量相等。这就是时空的对称变化。可写为
(6)
这里称为时空对称理论。上式的空间量是固有长度和,时间量则
不是固有时,固有时和有下列关系:
(20)
而和不符合中的任一
种时间量的微分,故
(16)
不是真实观测值。
四。Sharzhild解的分析
用时空对称理论求解Sharzhild解十分简单,在得到后,因
(19)
可得
(15.2)
(16.1)
(13.1)
下面用广义相对论四维时空标架求解Sharzhild解,并比较时空对称理
论用四维时空标架求解Sharzhild解的办法
(t=it,=1)(21)
这是静态球对称度规的标准形式。
在求解过程中得到
,(22)
令,得到
(23)
令,其物理意义是将绝对平直坐标系内的固有时与固有长度之间
物理条件,应用到有引力场的非惯性坐标系。
因此
(16.2)
不是真实观测值。
而固有时与之间有
(20.1)
这样与固有长度的度规有
(24)
又因为对观测者而言项是观测不到的,所以观测到的是正交时空
坐标,这样静态球对称度规的标准形式:
(t=it,=1)(21)
不符合要求,只有
(25)
符合要求。
计算克里斯朵夫联络的非零分量,其中
,,,
,。
与经典的求解Sharzhild解的计算值一样。

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关于相对论与其解的时空分析

作者:周炬 一。狭义相对论的时空解及比较 在狭义相对论中,两惯性系相对速度与和平行 (1) ()为坐标系的坐标,()为坐标系的坐标,令,,所以变换矩阵为 (2) 如果;,相对速度不变,那么 (3) 比较与 (4) (5) 比较后知道(4)式=(5)式 (6) 二。
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