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论微积分在经济分析中的应用
摘 要:微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。
关键词:微积分;边际分析;弹性;成本;收入;利润;最大值;最小值
  
  1 导数在经济分析中的应用
  
  1.1 边际分析在经济分析中的的应用
  1.1.1 边际需求与边际供给
  设需求函数q=f(p)在点p处可导(其中q为需求量,p为商品价格),则其边际函数q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数q=q(p)可导(其中q为供给量,p为商品价格),则其边际函数q=q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
  1.1.2 边际成本函数
  总成本函数=(q)=0+1(q);平均成本函数=(q)=(q)q;边际成本函数’=’(q).’(q0)称为当产量为q0时的边际成本,其经济意义为:当产量达到q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减’’(q0)个单位。
  1.1.3 边际收益函数
  总收益函数r=r(q);平均收益函数=(q);边际收益函数r’=r’(q).
  r’(q0)称为当商品销售量为q0时的边际收益。其经济意义为:当销售量达到q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减r’(q0)个单位。
  1.1.4 边际利润函数
  利润函数l=l(q)=r(q)-(q);平均利润函数;=(q)边际利润函数l’=l’(q)=r’(q)-’(q).l’(q0)称为当产量为q0时的边际利润,其经济意义是:当产量达到q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减l’(q0)个单位。
  例1 某企业每月生产q(吨)产品的总成本(千元)是产量q的函数,(q)=q2-10q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
  解:每月生产q吨产品的总收入函数为:
  r(q)=20q
  l(q)=r(q)-(q)=20q-(q2-1q+20)
  =-q2+30q-20
  l’(q)=(-q2+30q-20)’=-2q+30
  则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
  l’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);
  l’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);
  l’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);
  以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
  显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢?
  1.2 弹性在经济分析中的应用
  1.2.1 弹性函数
  设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量δyy=f(x+δx)-f(x)y与自变量的相对改变量δxx之比,当δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为eyex•eyex=liδx→0
  δyyδxx=liδx→0δyδx.xy=f’(x)xf(x)
  在点x=x0处,弹性函数值ef(x0)ex=f’(x0)xf(x0)称为f(x)在点x=x0处的弹性值,简称弹性。eexf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f(x)近似地改变eexf(x0)%。
  1.2.2 需求弹性
  经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
  对于需求函数q=f(p)(或p=p(q)),由于价格上涨时,商品的需求函数q=f(p)(或p=p(q))为单调减少函数,δp与δq异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
  例2 设某商品的需求函数为q=e-p5,求(1)需求弹性函数;(2)p=3,p=5,p=6时的需求弹性。

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论微积分在经济分析中的应用

摘要:微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。 关键词:微积分;边际分析;弹性;成本;收入
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